FFT real / imaginär / abs Teile Interpretation
Ich lerne gerade über diskrete Fourier-Transformation und ich spiele mit numpy, um es besser zu verstehen.
Ich habe versucht, ein "sin x sin x sin" -Signal zu zeichnen und eine saubere FFT mit 4 Nicht-Null-Punkten erhalten. Ich sagte mir naiv: "Nun, wenn ich ein Signal" sin + sin + sin + sin "mit diesen Amplituden und Frequenzen plotte, sollte ich das gleiche" sin x sin x sin "-Signal erhalten, richtig?
Nun ... nicht genau
(Das erste ist das "x" Signal, das zweite ist das "+" Signal)
Beide haben die gleichen Amplituden / Frequenzen, sind aber nicht die gleichen Signale, auch wenn ich sehen kann, dass sie Ähnlichkeiten aufweisen.
Ok, da ich nur absolute Werte von FFT gezeichnet habe, habe ich einige Informationen verloren.
Dann habe ich Realteil, Imaginärteil und Absolutwerte für beide Signale gezeichnet:
Jetzt bin ich verwirrt. Was mache ich mit all dem? Ich lese über DFT aus einer mathematischen Sichtweise. Ich verstehe, dass komplexe Werte aus dem Einheitskreis kommen. Ich musste sogar etwas über den Hilbert-Raum lernen, um zu verstehen, wie es funktioniert (und es war schmerzhaft! ... und ich kratzte nur an der Oberfläche). Ich möchte nur verstehen, ob diese realen / imaginären Plots irgendeine konkrete Bedeutung außerhalb der mathematischen Welt haben:
- abs (fft): Frequenzen + Amplituden
- real (fft):?
- imaginäre (fft):?
code:
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Für jeden Frequenzbereich gibt die Amplitude sqrt(re^2 + im^2) die Amplitude der Komponente bei der entsprechenden Frequenz an. Die -Phase atan2(im, re) zeigt Ihnen die relative Phase dieser Komponente an. Die realen und imaginären Teile allein sind nicht besonders nützlich.
In Bezug auf einen Bezugspunkt, sagen die Mitte eines festen Zeitfensters, eine Sinuswelle und eine Kosinuswelle der gleichen Frequenz wird anders aussehen (unterschiedliche Anfangsphasen in Bezug auf irgendeinen festen Zeitreferenzpunkt haben). Sie sind auch mathematisch orthogonal über jede ganze periodische Breite, so dass sie unabhängige Basisvektorkomponenten einer Transformation darstellen können.
Der tatsächliche Anteil eines FFT-Ergebnisses ist, wie viel jede Frequenzkomponente einer Kosinuswelle ähnelt, die Imaginärkomponente, wie viel jede Komponente einer Sinuswelle ähnelt. Verschiedene Verhältnisse von Sinus- und Kosinuskomponenten zusammen ermöglichen es, eine Sinuskurve beliebiger oder gewünschter Phase zu konstruieren, wodurch das FFT-Ergebnis vollständig ist.
Die Größe allein kann den Unterschied zwischen einer Sinus- und Kosinuswelle nicht erkennen. Eine IFFT (imag (FFT)) würde die Rekonstruktion eines Signals mit einer anderen Phase als die reinen Kosinuswellen zunichte machen. Gleiches gilt für IFFT (re (FFT)) und reine Sinuswellen (in Bezug auf das FFT-Fenster).
Sie können das Signal 1, das aus einem Produkt von drei cos-Funktionen besteht, in eine Summe von vier cos-Funktionen umwandeln. Dies macht den Unterschied zur Funktion 2, die eine Summe von vier Sinusfunktionen ist.
Eine cos-Funktion ist eine gerade Funktion cos (-x) == cos (x). Die Fourier-Transformation einer geraden Funktion ist rein real. Das ist der Grund, warum der Plot des Imaginärteils des fft von Funktion 1 nur Werte nahe Null (1e-15) enthält.
Eine Sinusfunktion ist eine ungerade Funktion sin (-x) == -sin (x). Die Fourier-Transformation einer ungeraden Funktion ist rein imaginär. Das ist der Grund, warum die Darstellung des reellen Teils des fft von Funktion 2 nur Werte enthält, die nahe bei Null liegen (1e-15).
Wenn Sie FFT und DFT genauer verstehen wollen, lesen Sie ein Lehrbuch zur Signalanalyse für die Elektrotechnik.
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