Algorithmus zum Finden eines Bogens, dessen Mittelpunkt, Radius und Winkel 3 Punkte ergeben
Gegeben 3 Punkte A, B und C
Wie kann ich finden und Bogen, die bei A beginnt, bei C endet und durch B geht; die Koordinaten, der Radius und die Winkel für r und r '?
6 Antworten
Es gibt einige Möglichkeiten, dies zu tun. Hier ist ein Algorithmus:
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Erhalte deine COORDEN
A = {xA, yA}
B = {xB, yB}
C = {xC, yC}
d = {xd, yd}
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Berechnen Sie die Mittelpunkte der Linien AB und BC
mid_AB = {(xA + xB) / 2, (yA + yB) / 2}
mid_BC = {(xB + xC) / 2, (yB + yC) / 2}
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Finden Sie Steigungen der Linien AB und BC
slope_AB = (yB-yA) / (xB-xA)
slope_BC = (yC-yB) / (xC-xB)
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Konstruieren Sie Linien, die durch die Mittelpunkte PERPENDICULAR zu AB und BC verlaufen (danke an Yves ), um das Negativ zu erfassen !)
Slope_perp_AB = - (slope_AB) ^ (- 1)
Slope_perp_BC = - (slope_BC) ^ (- 1)
*** Zeile mit Slope_perp_AB läuft durch mid_AB
*** Zeile mit Slope_perp_BC läuft durch mid_BC
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Setze die beiden Gleichungen gleich und löse, um den Schnittpunkt zu finden! Dies gibt Ihnen Punkt d = {xd, yd} !!!
Die Berechnung des Radius und der Winkel ist jetzt trivial mit dem Mittelpunkt d!
Der Mittelpunkt des Kreises ist äquidistant zu den drei angegebenen Punkten:
%Vor%Subtrahieren das erste Mitglied von der zweiten und dritten, erhalten wir nach dem Umgruppieren:
%Vor%Dieses lineare System von zwei Gleichungen in zwei Unbekannten ist mit Cramers Regel leicht zu lösen.
Der Radius und die Winkel können mithilfe der kartesischen Polar-Transformation um das Zentrum herum gefunden werden:
%Vor% Aber Sie vermissen noch eins: Was ist der relevante Teil des Bogens? Kleiner oder größer als eine halbe Drehung? Von Ta bis Tb oder von Tb bis 2 Pi bis Ta + 2 Pi oder was? Die Antwort ist viel weniger offensichtlich, als es scheint, probiere es aus (weil die drei Winkel Ta , Tb und Tc nicht zu einem Vielfachen von 2 Pi gehören und du sie nicht sortieren kannst!)!
Hinweis: Betrachten Sie das Vorzeichen der Fläche des Dreiecks ABC, genau die Hälfte der Determinante des Systems. Es wird Ihnen sagen, ob B links oder rechts von AC liegt.
Schritt 1
Finden Sie die Mittelsenkrechte von AB und BC.
Schritt 2
Finde den Punkt, an dem diese Linien geschnitten werden.
Der Punkt, den Sie finden, ist der Mittelpunkt des gewünschten Kreises.
Schritt 3
Berechnen Sie den Abstand eines der drei Punkte von der Mitte, die Sie in Schritt 2 gefunden haben. Das wäre der Radius Ihres Kreises.
HINWEIS Die Punkte A, B und C dürfen nicht in derselben Zeile stehen. Sie müssen dies überprüfen, bevor Sie die Schritte 1 bis 3 ausführen.
Die Lösung dafür ist fast identisch mit dem "Kreis der besten Anpassung für ein nicht-überbestimmtes System". Da Sie drei Punkte haben, die genau auf dem Bogenformer durch den Kreis bei (0,0) (gegeben) zentriert sind, kann das System genau gelöst werden, anstatt eine Annäherung der kleinsten Quadrate zu erfordern.
Referenzen
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Ermitteln des Mittelpunkts eines Kreises mit drei Punkten , abgerufen am 01.04.2014,
<http://mathforum.org/library/drmath/view/55239.html>
Sie haben drei Gleichungen, um die drei Unbekannten xM, yM und R zu bestimmen,
%Vor%usw. Subtrahieren der A-Gleichung von den B- und C-Gleichungen ergibt
%Vor%Wenn Sie dieses 2x2 lineare System lösen, erhalten Sie den Mittelpunkt des Kreises. Wenn Sie in eine der ursprünglichen Gleichungen einfügen, erhalten Sie den Radius.
Es gibt ein wenig bekanntes Ergebnis, das die implizite Gleichung eines Kreises durch 3 Punkte angibt:
%Vor% wo wir aus Gründen der Prägnanz Z:= X^2 + Y^2 definiert haben.
Wenn wir die 3x3 Minderjährigen berechnen, entwickeln wir uns zu:
%Vor%und nach der Normalisierung erhalten wir die übliche Gleichung zweiten Grades:
%Vor%Dies kann wie folgt umgeschrieben werden:
%Vor% gibt sofort das Zentrum (U, V) = (-M10/2.M00, -M20/2.M00) und den Radius R^2 = U^2 + V^2 - M30/M00 .