Wie man eine polynomische Anpassung mit festen Punkten macht

Die mathematisch korrekte Art, eine Anpassung mit festen Punkten durchzuführen, besteht darin, Lagrange-Multiplikatoren zu verwenden. Im Grunde modifizieren Sie die Zielfunktion, die Sie minimieren möchten, die normalerweise die Summe der Quadrate der Residuen ist, indem Sie für jeden Fixpunkt einen zusätzlichen Parameter hinzufügen. Es ist mir nicht gelungen, eine modifizierte Zielfunktion einem von Scipys Minimierern zuzuführen. Aber für eine polynomische Anpassung können Sie die Details mit Stift und Papier herausfinden und Ihr Problem in die Lösung eines linearen Gleichungssystems umwandeln:

Um zu testen, ob es funktioniert, versuchen Sie folgendes, wobei n die Anzahl der Punkte ist, d der Grad des Polynoms und f die Anzahl der Fixpunkte:

Und natürlich passt das angepasste Polynom genau durch die Punkte:

Wenn Sie curve_fit() verwenden, können Sie das Argument sigma verwenden, um jedem Punkt eine Gewichtung zu geben. Das folgende Beispiel gibt den ersten, mittleren und letzten Punkt als sehr kleines Sigma an, sodass das Anpassungsergebnis sehr nahe bei diesen drei Punkten liegt:

Ein einfacher und direkter Weg ist die Verwendung von Constrained Least Squares, wo Constraints mit einer größeren Zahl M gewichtet werden, wie:

Offensichtlich ist dies keine wirklich allumfassende Lösung, aber anscheinend scheint es mit einem einfachen Beispiel ( for M in [0, 4, 24, 124, 624, 3124] ) vernünftig zu funktionieren:

und produzieren wie:

Bearbeiten: 'exact' Lösung hinzugefügt:

und Testen der Passform: